TEOREM UZORKOVANJA

Pretvorba analognog u digitalni signal osniva se na teorijskim istraživanjima više znanstvenika između 1920. i 1940. godine (H. Nyquist, V.A. Koteljnikov). Međutim, osnivač teorije informacija C. E. Shannon objavio je krajem četrdesetih teorem uzorkovanja, u kojem je na matematički način opisana veza između vremenski kontinuiranih i vremenski diskretnih signala. Teoremom uzorkovanja (Sampling Theorem) je dokazano kako se analogni kontinuirani signal može pretvoriti u slijed vremenski diskretnih impulsa (uzoraka) i obrnuto, tako da nema nikakvog gubitka informacije (usprkos tome što se promjene analognog signala između uzimanja uzoraka ne uzimaju u obzir) ako je zadovoljeno sljedeće:

Drugim riječima: u analognom kontinuiranom signalu ne smije biti viših frekvencija nego što je polovica frekvencije uzorkovanja f_sr, kako bi pretvorba iz kontinuiranog signala u niz diskretnih impulsa (i recipročno: pretvorba iz niza diskretnih impulsa u kontinuirani signal) bila moguća bez ikakvog gubitka informacije.

Striktni dokaz teorema uzorkovanja ovdje neće biti dan, no služeći se metodologijom korištenom prilikom dokaza, zanimljivo je grafički prikazati reverzibilnost pretvorbe kontinuiranog signala u niz diskretnih impulsa. Naime, iz Fourierove analize je poznato: ako se kratkotrajni, usamljeni tzv. Diracov impuls (delta funkcija) dovede na ulaz idealnog niskopropusnog filtra, tada se na izlazu dobiva odziv koji odgovara funkciji sin(x)/x.

U našem slučaju, uzimaju se svakih T = 1/f_sr uzorci amplitude izvornog kontinuiranog signala, te se dobiva slijed Diracovih impulsa, gdje su susjedni impulsi udaljeni za T (period uzorkovanja). Teoremom se dokazuje da slijed Diracovih impulsa na idealnom niskopropusnom filtru rezultira sumi funkcija sin(x)/x koje se tako preklapaju da je dobiveni izlazni signal identičan izvornom kontinuiranom signalu. Kao što je vidljivo iz slike (crveno: Diracov impuls; plavo: odziv NP filtra), radi se o matematičkoj metodologiji pri dokazivanju teorema uzorkovanja. Naime, postojanje dijela krivulje sin(x)/x (plavo) beskonačno prije dolaska impulsa (crveno) - što odgovara beskonačnom utitravanju - nije fizički moguće.

Na sljedećoj slici prikazano je uzorkovanje pilastog signala (crveno) frekvencije 7777 Hz. Frekvencija uzorkovanja je f_sr=44100 Hz, tj. uzorci (okomite tanke crvene crte) se uzimaju svakih 22,67 mikro sekundi. Rezultirajuća suma sin(x)/x prikazana je zelenom bojom. Kao što je vidljivo, izvorni signal se razlikuje od rezultirajućeg. Razlog je tome što pilasti signal frekvencije f ima beskonačno mnogo viših harmonika: 2f, 3f, 4f..., a već je frekvencija trećeg harmonika veća od f_sr/2 (ustvari nije zadovoljen nužan uvjet za valjanost teorema uzorkovanja). Za daljnje eksperimentiranje - pogledajte pokus: Teorem uzorkovanja - niskopropusni filtar.

Na temeljima teorema uzorkovanja, koji u stvari opisuje proces PAM-a (pulsno-amplitudne modulacije), nastao je PCM (pulsno-kodna modulacija), kojim se iznosi amplituda diskretnih impulsa PAM-a kvantiziraju (svode na konačan broj mogućih stanja), te kodiraju u binarni oblik (nizovi sastavljeni od "0" i "1"). PCM je u suvremenim komunikacijama općeprihvaćen princip digitalnog prijenosa analognih signala - na taj se način prenosi govor u suvremenoj telefoniji, zapisuje glazba na CD-u i DAT-u, a tako se i snimaju/reproduciraju audio signali u glazbenim karticama PC-a. Ovisno o potrebama za kvalitetom prijenosa analognih signala razlikuju se iznosi za f_m i f_sr, te finoća kvantiziranja u broju bita. Za spomenute praktične primjere PCM-a, navedene su vrijednosti dane u sljedećoj tablici (uočite da je f_sr, nešto veći od 2f_sr):

Detaljnije informacije o teoremu uzorkovanja i općenito o pretvorbi signala iz analognog u digitalni oblik potražite na sljedećim WEB stranicama:

• Povratak na početak rubrike: PC kutak za FIZIČKI trenutak
• Povratak na osnovnu stranicu E-škole Hrvatskog fizikalnog društva

Zadnja promjena: 27.10.1999.